数学大讲堂

球面的微分结构与稳定同伦论

在1956年,Milnor发现7维球面上存在着与标准球面不等价的微分结构。这个发现说明与拓扑情形不同,高维光滑情形的广义Poincare猜想一般并不成立。这就引出球面上微分结构的分类以及哪些维数的球面上微分结构唯一这些进一步的问题。在60年代Kervaire与Milnor利用微分流形的手术理论,将5维以上球面微分结构的分类划归为关于球面稳定同伦论的问题。利用当时已知的Toda关于前19个球面同伦群的计算,可以分类5到19维球面的微分结构。报告将介绍同伦论的进一步发展导致的人们对球面微分结构的更多的认识。其中包括报告人与徐宙利关于球面第60和61个稳定同伦群的计算,该工作可推出61维球面存在唯一微分结构,并且结合Hill-Hopkins-Ravenel关于Kervaire不变量的工作,可以分类所有具有唯一微分结构的奇数维球面。